Come calcolare la media geometrica
La media geometrica è una misura di tendenza centrale particolarmente adatta per dati che crescono in modo moltiplicativo, come tassi di rendimento, tassi di crescita e rapporti. Questo calcolatore computa la media geometrica, confrontandola con la media aritmetica e la media armonica.
Formula
Per n numeri positivi x1, x2, ..., xn:
Media geometrica = (x1 × x2 × ... × xn)^(1/n)
Per evitare problemi di overflow con numeri grandi, il calcolatore usa la formula equivalente basata sui logaritmi:
GM = exp(sum(ln(xi)) / n)
Esempio: la media geometrica di 4, 9 e 36 = exp((ln4 + ln9 + ln36) / 3) = exp((1.386 + 2.197 + 3.584) / 3) = exp(2.389) = 10.9027.
Le tre medie a confronto
Per qualsiasi serie di numeri positivi (non tutti uguali), vale sempre la disuguaglianza AM-GM-HM:
Media armonica ≤ Media geometrica ≤ Media aritmetica
L'uguaglianza si verifica solo quando tutti i valori sono identici. Maggiore è la dispersione dei dati, maggiore è la differenza tra le tre medie.
| Media | Formula | Quando usarla |
|---|---|---|
| Aritmetica | (x1+x2+...+xn)/n | Dati additivi: altezze, pesi, temperature |
| Geometrica | (x1×x2×...×xn)^(1/n) | Dati moltiplicativi: rendimenti, tassi, rapporti |
| Armonica | n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) | Rapporti con numeratore costante: velocità, densità |
La media geometrica in finanza
In finanza la media geometrica è essenziale per calcolare il rendimento medio annuo composto (CAGR). Se un investimento rende +50% il primo anno e -33% il secondo, la media aritmetica dei rendimenti è (+50-33)/2 = +8.5%, ma il capitale reale torna al punto di partenza (100 × 1.5 × 0.67 = 100.5). La media geometrica cattura correttamente questo effetto: GM(1.5, 0.67) = 1.002, ovvero circa +0.1% annuo.
Applicazioni pratiche
Oltre alla finanza, la media geometrica trova impiego in:
- Biologia: tasso medio di crescita di popolazioni
- Acustica: calcolo di medie di decibel
- Geometria: lato del quadrato con la stessa area di un rettangolo (GM dei lati)
- Fotografia: media geometrica dei tempi di esposizione nelle scale EV
- Economia: indici dei prezzi (indice di Fisher usa la media geometrica degli indici di Laspeyres e Paasche)
La media geometrica è uno strumento indispensabile per chiunque lavori con dati che crescono in modo proporzionale piuttosto che additivo.